Γενικός τύπος υπολογισμού Μαζικής Ροπής Αδράνειας για πλάκα

[Stereo_Civil]

Χαιρετω την κοινοτητα των μηχανικων καταρχας! Αν και εχω διαβασει αρκετα θεματα στο forum, ειναι η 1η φορα που ποσταρω.

 

Ειμαι τελειοφοιτος πολιτικος μηχανικος και στο πλαισιο της διπλωματικης μου εργασιας θελω να ζητησω τη βοηθεια σας για ενα ζητηματακι.

Εχοντας μια τυχαια ακανονιστη πολυγωνικη κατοψη πλακας ενος κτιριακου φορεα ( οχι απολυτως ακονονιστη - μπορει να αποτελειται μονο απο αθροισματα ορθογωνιων) καθως και τις συντεταγμενες x,y των κομβων της, αναζητω εναν τυπο ωστε να υπολογιζω την μαζικη ροπη αδρανειας Jm περι κατακορυφου αξονα που διερχεται απο το κεντρο μαζας της πλακας, ωστε να μπορω να κανω ιδιομορφικη αναλυση.

 

Δηλαδη εναν τυπο αντιστοιχο με αυτον  Ε=1/2*Σ[x(i)*y(i+1)]-[x(i+1)*y(i)]  που χρησιμοποιειται για την ευρεση του εμβαδου.

 

Εψαξα στα βιβλια Δυναμικης & Αντοχης καθως και στο internet, αλλα δεν βρηκα καποιον τετοιο γενικο τυπο, παρα μονο για συγκεκριμενα σχηματα πχ. ορθογωνια, κυκλους.

 

Ευχαριστω για το χρονο σας.

 

[kostaspde]

Άν ξέρεις για ορθογώνια και κύκλους τότε με το θεώρημα steiner υπολογίζεις και για σχήματα που αποτελούνται από επί μέρους ορθογώνια και κύκλους.

Νομίζω εδώ έχει αυτό που θέλεις.

 

Edit: Μόνο με τις κορυφές του περιγράμματος δεν ξέρω αν υπάρχει τύπος.

 

Εκεί μόνο αν ολοκληρώσεις με θεώρημα green και βγάλεις τύπο (δεν το έχω κάνει αλλά ξέρω ότι έτσι βγαίνει).

 

Θα το δω μετά και θα σου πω.

Edited Φεβρουάριος 25 , 2014 by kostaspde

[Stereo_Civil]

 

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση, τελικά την βρήκα την άκρη.

 

Για όσους ενδιαφέρονται, ο τύπος είναι Jm=Izz*m / (4*A)  , όπου Izz : η πολική ροπή αδράνειας ( Ιzz=Ixx+Iyy ) , m: η συγκεντρωμένη μάζα στο ΚΒ της πλάκας, Α: το εμβαδό της πλάκας.

Τα Ιxx, Iyy για τυχαίο πολυγωνικό σχήμα με δεδομένες τις συντεταγμένες του υπολογίζονται από τους τύπους που υπάρχουν εδώ 

http://en.wikipedia.org/wiki/Second_moment_of_area

 

Παρακαλώ διόρθωσε την ειδικότητά σου (μέχρι να πάρεις πτυχίο τουλάχιστον...)

 

Μην κάνετε άσκοπη παράθεση ολόκληρου του αμέσως προηγούμενου μηνύματος, για λόγους οικονομίας του Φόρουμ.

Παρακαλώ διαβάστε τους Κανόνες Συμμετοχής

Γιάννης

Edited Φεβρουάριος 25 , 2014 by Γιάννης

[kostaspde]

Πάντως η ορολογία είναι για τα ανάθεμα. Άλλο μέγεθος ψάχνεις και άλλα βρίσκεις γιατί χρησιμοποιούμε καταχρηστικά το όρο ροπή αδρανείας (αγγλιστί moment of inertia) για όλα.

Edited Φεβρουάριος 25 , 2014 by kostaspde

[jon85]

Καλησπέρα, 

 

Σε σχέση με τον παραπάνω τύπο που έχει αναφερθεί για τον υπολογισμό της μαζικής ροπής αδράνειας " Jm=Izz*m / (4*A) " , μήπως πρέπει να παραλείψουμε το 4 στον παρονομαστή ?

 

Επίσης γνωρίζετε εάν αναφέρεται σε κάποιο σύγγραμμα ή βιβλιογραφία σχετική ?

[AlexisPap]

μήπως πρέπει να παραλείψουμε το 4 στον παρονομαστή ?

 

πολύ σωστά!

 

 

Μεγάλο μπέρδεμα... λοιπόν:

• Στροφορμή (το αντίστοιχο της ορμής):                   L = ω*J      ω: γωνιακή ταχήτητα (rad/sec), J: μαζική ροπή αδράνειας
• (μαζική) ροπή αδράνειας επίπεδης επιφάνειας:  J = ρ*I        ρ: η ανηγμένη μάζα (kg/m²), Ι: επιφανειακή ροπή αδράνειας
• (επιφανειακή) ροπή αδράνειας  ->>-   ->>- :        Ι = b*d/12*(b²+d²), για ορθογώνιο b*d, περί τον κάθετο κεντροβαρικό άξονα.

Επομένως:

1. Για όσα μας ενδιαφέρουν περί σεισμού, η (επιφανειακή) ροπή αδράνειας ορθογωνικής πλάκας είναι  Ι = b*d/12*(b²+d²). Αν η επιφάνεια είναι σύνθετη, εφαρμόζουμε steiner για να βρούμε την Ι.
2. Για να βρούμε την μαζική ροπή αδράνειας J, πολλαπλασιάζουμε την I με το ρ. Αν το ρ δεν είναι σταθερό σε όλη την πλάκα, υπολογίζουμε ξεχωριστά Ι για κάθε κομμάτι, τα πολλαπλασιάζουμε με το αντίστοιχο ρ για να βρούμε το J του κομματιού, και μετά προσθέτουμε τα επιμέρους J.
3. Αν η πλάκα είναι ορθογωνική, και αν το ρ είναι σταθερό, τότε η μαζική ροπή αδράνειας είναι:

   J=ρ*Ι = ρ*b*d/12*(b²+d²) = Μ/12*(b²+d²).  όπου Μ=ρ*b*d η μάζα της πλάκας. Ή αλλοιώς, J=M*I/A, όπου Α=b*d το εμβαδόν της πλάκας.

Επιπλέον:

• Η επιφανειακή ροπή αδρανείας ως προς τον κάθετο κεντροβαρικό άξονα, λέγεται πολική ροπή αδρανείας.
• Ο λόγος I/A είναι το τετράγωνο της ακτίνας αδρανείας i=sqr(I/A). Η ακτίνα αδρανείας είναι η ακτίνα στο άκρο της οποίας αν βρισκόταν συγκεντρωμένη η μάζα Μ θα είχε την ίδια στροφορμή με την στροφορμή της πλάκας. Δηλαδή, J=Μ*i².

 

 

Ως προς το αν υπάρχει βιβλιογραφία:

Θα υπάρχει προφανώς, αλλά αυτά είναι θεμελιώδεις γνώσεις. Τα βρίσκει κανείς στην wikipedia και στα βιβλία σημειώσεων της τεχνικής μηχανικής του πρώτου έτους.

Edited Νοέμβριος 19 , 2016 by AlexisPap