Σπαζοκεφαλιές.

[Ροδοπουλος]

Αφου είστε ιδιαίτερα ζεστοί βάζω και ενα μαθηματικό προβλημα απο εξετάσεις στο μαθηματικό.

 

Ένας ελέφαντας ζυγίζει όσο ένα κουνούπι

 

Προσπαθήστε να βρείτε που βρίσκεται το λάθος στον παρακάτω υπολογισμό:

 

1. Έστω πως x είναι το βάρος ενός ελέφαντα και y είναι το βάρος ενός κουνουπιού.

 

2. Έστω πως 2b είναι το συνολικό τους βάρος. Δηλαδή x + y = 2b

 

3. Την πιο πάνω εξίσωση μπορούμε να την γράψουμε με δύο τρόπους: Α) x = –y + 2b Β) x – 2b = –y

 

4. Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις εξισώσεις Α και Β και παίρνουμε: x (x – 2b) = –y (–y+2b) <=> x2 – 2xb = y2 – 2yb

 

5. Προσθέτουμε σε κάθε μέλος της πιο πάνω εξίσωσης το b2 και έχουμε: x2 – 2xb + b2 = y2 – 2yb + b2

 

6. Παραγοντοποιούμε και τα δύο μέλη με χρήση της γνωστής ταυτότητας: (x – 2 = (y – 2

 

7. Παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα και των δύο μελών: x – b = y – b

 

8. Προσθέτουμε το b και στα δύο μέλη: x = y

 

και καταλήγουμε πως ένας ελέφαντας ζυγίζει όσο ένα κουνούπι!

[AlexisPap]

Δεν παίζω, αυτό ήθελα να το βάλω εγώ...

[Ροδοπουλος]

να βάλω την λύση για τους σοφούς?

[kostaspde]

Αφου είστε ιδιαίτερα ζεστοί βάζω και ενα μαθηματικό προβλημα απο εξετάσεις στο μαθηματικό.

 

Ένας ελέφαντας ζυγίζει όσο ένα κουνούπι

 

Προσπαθήστε να βρείτε που βρίσκεται το λάθος στον παρακάτω υπολογισμό:

 

1. Έστω πως x είναι το βάρος ενός ελέφαντα και y είναι το βάρος ενός κουνουπιού.

 

2. Έστω πως 2b είναι το συνολικό τους βάρος. Δηλαδή x + y = 2b

 

3. Την πιο πάνω εξίσωση μπορούμε να την γράψουμε με δύο τρόπους: Α) x = –y + 2b Β) x – 2b = –y

 

4. Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις εξισώσεις Α και Β και παίρνουμε: x (x – 2b) = –y (–y+2b) <=> x2 – 2xb = y2 – 2yb

 

5. Προσθέτουμε σε κάθε μέλος της πιο πάνω εξίσωσης το b2 και έχουμε: x2 – 2xb + b2 = y2 – 2yb + b2

 

6. Παραγοντοποιούμε και τα δύο μέλη με χρήση της γνωστής ταυτότητας: (x – 2 = (y – 2

 

7. Παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα και των δύο μελών: x – b = y – b

 

8. Προσθέτουμε το b και στα δύο μέλη: x = y

 

και καταλήγουμε πως ένας ελέφαντας ζυγίζει όσο ένα κουνούπι!

 

Στο βήμα 7 είναι το λάθος. Διώχνεις τις ρίζες αλλά μετά έχεις δύο πιθανές λύσεις.

7α) x-b=y-b => x=y (απορίπτεται)

7b) x-b=-(y- => x-b=-y+b => x+y=2b (τυχαίο; δε νομίζω)

 

Ήταν προφανές ότι θα καταλήξεις στο x+y=2b γιατί οι εξισώσεις που πολλαπλασίασες κατά μέλη δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

[erling]

Ροδοπουλος, όχι ακόμα, είμαι σε καλό δρόμο (νομίζω)

[AlexisPap]

:D ---ΑΠΑΝΤΗΣΗ--- :D

 

Το πρόβλημα που έθεσα έχει μείνει γνωστό ως "The Impossible Puzzle". Το πρόβλημα (αγνώστου επινοητή) έγινε γνωστό από τον Martin Gardner, και στην κανονική του εκδοχή δεν περιλαμβάνει τις "σάλτσες" για βασιλιάδες και πολέμους, τις οποίες προσέθεσα για ποικιλία και για να δυσχεράνω την αναζήτηση στο google...

 

Η λύση που μου αρέσει περισσότερο είναι η εξής:

 

Γ: - Δεν μπορώ να βρω τους αριθμούς.

Ο μόνος τρόπος για να τους βρει θα ήταν να είναι το γινόμενο "Γ" δύο μόνο πρώτων αριθμών. Προφανώς δεν είναι.

 

Α: - Το ξέρω ότι δεν μπορούσες.

Πως το ξέρει; Προφανώς ξέρει ότι οι Χ και Ψ δεν είναι πρώτοι. Άρα το άθροισμά "Α" δεν είναι άθροισμα πρώτων.

Ξέρουμε από "θεώρημα" του Goldbach ότι όλοι οι άρτιοι είναι αθροίσματα πρώτων. Άρα το Α είναι εξ ανάγκης περιττός (ωστόσο η γνώση του θεωρήματος δεν είναι αναγκαία για την λύση, απλώς υποδιπλασιάζει τον κόπο μας).

 

Ο Γ λοιπόν σκέφτεται: Το άθροισμα είναι περιττός, και μάλιστα δεν είναι άθροισμα πρώτων... ας αρχίσουμε να αποκλείουμε αριθμούς!

5 = 3 + 2 -> αποκλείεται

7 = 5 + 2

9 = 7 + 2

δεν αποκλείεται το 11

13 = 11 + 2

15 = 13 + 2

δεν αποκλείεται το 17

19 = 17 + 2

21 = 19 + 2

δεν αποκλείεται το 23

25 = 23 + 2

δεν αποκλείεται το 27

...

...

τελικά δεν αποκλείονται οι αριθμοί {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37}. Ένας από αυτούς είναι το Α.

Ποιος όμως; Εδώ είναι τα δύσκολα!

 

Ο Γ ξέρει το γινόμενο, και ξέρει ότι το Α ανήκει {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37}

Ας εξετάσουμε το 11. Θα μπορούσε να προέρχεται από το 3+8 που δίνει γινόμενο 3*8=24.

Ο Α ξέρει το άθροισμα, αλλά δεν έχει καμία ιδέα για το γινόμενο.

 

Να ένα σκεπτικό:

Αν το γινόμενο ήταν 28, ο Γ αμέσως θα σκεφτόταν: 28=4*7 επειδή 4+7=11 που είναι ένα πιθανό Α. Θα ανακοίνωνε στον Α ότι βρήκε του αριθμούς. Ο Α όμως, αν και ξέρει ότι το Α είναι 11, δεν μπορεί να βρει τα Χ, Ψ. Θα μπορούσε να είναι:

11=4+7, 4*7=28 ή

11=3+8, 3*8=24 ή

11=5+6, 5*6=30...

άρα άθροισμα δεν μπορεί να είναι το 11 διότι ο Α δεν θα μπορούσε να βρει την λύση.

 

Με τον ίδιο τρόπο απορρίπτουμε όλους τους αριθμούς της λίστας {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37} εκτός από το 17:

 

Για το 17 έχουμε:

2+15: Το γινόμενο είναι 30 και θα μπορούσε να προέρχεται από το 5*6, 5+6=11. Το ίδιο γινόμενο μπορεί να αντιστοιχεί σε δύο πιθανά Α. Έτσι ο Γ δεν θα μπορούσε να βρεί τους αριθμούς Χ, Ψ -> απορρίπτεται.

3+14. Το γινόμενο είναι 42 και θα μπορούσε να προέρχεται από το 2*21, 2+21=23 -> απορρίπτεται

4+13. Η λύση του προβλήματος

5+12. 5*12=60, 60=3*20, 3+20=23, απορρίπτεται

6+11. 6*11=66, 66=2*33, 2+23=35, απορρίπτεται

7+10. 7*10=70, 70=2*35, 2+35=37, απορρίπτεται

8+9. 8*9= 72, 72=3*24, 3+24=27, απορρίπτεται

 

επομένως μόνο αν το Α ήταν 17 και το Γ ήταν 52 θα μπορούσε ο Γ να βρεί τους Χ, Ψ μετά την απάντηση του Α και ο Α να τους βρει κι αυτός μετά την απάντηση του Γ. Άρα η λύση του προβλήματος είναι οι αριθμοί 4 και 13.

 

Οι δύο σοφοί σκέφτηκαν ως εξής:

 

Γ: Ξέρω ότι Γ=52. 52=2*26=4*13 ποιο από τα δύο όμως; ΔΕΝ ΞΕΡΩ!

Α: Ξέρω ότι Α=17. δεν είναι άθροισμα πρώτων. άρα, ΔΕΝ ΞΕΡΕΙ!

Γ: Ξέρει ότι δεν ξέρω, άρα Α ανήκει {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37}. 2+26=28 -> όχι. 4+13=17 ->αυτό είναι! ΞΕΡΩ!

Α: Ξέρει... Άρα το γινόμενό του αναλύεται σε ζεύγη παραγόντων, από τα οποία μόνο ένα δίνει άθροισμα που να ανήκει {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37}. Άρα, ΞΕΡΩ ΚΙ ΕΓΩ!

 

 

Περισσότερα για το "αδύνατο πρόβλημα" εδώ.

[erling]

Το πρόβλημα όπως το βρήκα στον γούγλη, όπου ο περιορισμός του 100 δίνεται περιγραφικά, αλλά με άλλο αποτέλεσμα.. 13 και 16

 

Πιθανή διάρκεια ζωής του θέματος : dt

 

Αναμενόμενο πλήθος εμφανίσεων : 1 (του διαχειριστή που θα το διαγράψει)

 

Ακριβώς επειδή δε βλέπω να παραμένει για πολύ το θέμα, όσοι προλάβετε ακούστε τον καλύτερο από τους γρίφους που έχει πέσει στα χέρια μου:

 

Ένας ετοιμοθάνατος πατέρας έχει 2 γιους. Επίσης έχει και έναν θησαυρό, τον οποίον έχει θάψει κάτω από μιά ελιά, σε έναν τετράγωνο ελαιώνα με διαστάσεις 100x100 δέντρα.

Προτού πεθάνει, δίνει στα παιδιά του τις εξής πληροφορίες:

 

1) Ο θησαυρός ΔΕΝ βρίσκεται στις πρώτες δύο γραμμές ή δύο στήλες.

2) Στο μεγάλο γιο δίνει έναν φάκελο με το ΓΙΝΟΜΕΝΟ των συντεταγμένων του δέντρου (π.χ. αν είναι το δέντρο 5 δεξιά, 7 κάτω, του δίνει το 35)

3) Στο μικρό γιο δίνει έναν φάκελο με το ΑΘΡΟΙΣΜΑ των συντεταγμένων του δέντρου (στο προηγούμενο παράδειγμα θα έπαιρνε το 5+7=12)

 

Πεθαίνει ο γέρος, κηδεία κλπ, τα παιδιά επιστρέφουν σπίτι και πάει ο καθένας στο δωμάτιό του.

Μετά από λίγη ώρα, βγαίνει ο ΑΘΡΟΙΣΜΑΣ (=αυτός που ξέρει το άθροισμα) και πάει στο δωμάτιο του ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ. Τον βλέπει μέσα και του λέει :

"ΧΑ! Το ήξερα ότι θα είσαι ακόμα εδώ!!" και επιστρέφει στο δωμάτιό του.

 

Μετά από λίγο ξαναπάει και ο ΓΙΝΟΜΕΝΟΣ λείπει. Σκέφτεται :

"Πωωωω!! Τι βλακεία έκανα;;; Με αυτό που του είπα το βρήκε!! Αλλά τώρα το βρήκα κι εγώ!!"

 

ΚΑΙ ΤΩΡΑ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΤΟ ΒΡΟΥΜΕ ΚΙ ΕΜΕΙΣ!!!

 

(Εννοείται ότι αρκεί να βρούμε τα δύο νούμερα, π.χ. 5 και 7. Δε μας ενοχλεί να σκάψουμε 2 δέντρα, τα (5,7) και (7,5). Εναλλακτικά, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο ελαιώνας είναι τριγωνικός, για να υπάρχει μοναδική λύση)

 

Δεν είναι ΑΠΙΣΤΕΥΤΑ ελάχιστα τα δεδομένα ώστε να προκύπτει λύση και μάλιστα ΜΟΝΑΔΙΚΗ;;;

 

k. Ροδόπουλε τα παρατάω.. δεν μπορώ να καταλήξω κάπου.

[AlexisPap]

Το πρόβλημα είναι όντως το ίδιο. Και όντως, το ζευγάρι 13, 16 είναι λύση... Τι γίνεται εδώ;

 

Edit: Δύο λύσεις, ανάλογα με τους περιορισμούς:

 

The answer depends upon the ranges from which the numbers are chosen.

 

The unique solution for the ranges [2,62] through [2,500+] is:

 

SUM PRODUCT X Y

17 52 4 13

 

The unique solution for the ranges [3,94] through [3,500+] is:

 

SUM PRODUCT X Y

29 208 13 16

[spy1551]

Ήθελε αρκετό γράψιμο , Αλέξη , αφού πρώτα έβρισκες τα σωστά αθροίσματα.

[AlexisPap]

Ήθελε αρκετό γράψιμο , Αλέξη , αφού πρώτα έβρισκες τα σωστά αθροίσματα.

 

Είναι από τα δυσκολότερα προβλήματα, τόσο λόγω του ότι σε βάζει να λύσεις ένα πρόβλημα πάνω στην λύση ενός άλλου προβλήματος, όσο και επειδή θέλει πολύ γράψιμο και καλή μνήμη...

Πάντως είναι ωραίο.